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O que é o modelo de Bohr?



modelo atômico de Bohr foi uma tentativa de aplicar as idéias de quantização de Planck e Einstein ao modelo nuclear de Rutherford. Com o referencial fixo no núcleo do átomo, o modelo está baseado nas seguintes hipóteses:

  1. O movimento do elétron ao redor do núcleo atômico é descrito pelas leis de Newton.
  2. O elétron pode ocupar apenas certas órbitas especiais ao redor do núcleo. Estas órbitas são determinadas impondo que o módulo do momentum angular do elétron ao redor do núcleo só pode ter valores múltiplos inteiros da constante de Planck dividida por 2π:

              L = (h/2π) n          [n = 1, 2, 3, … ∞]
  3. As órbitas são estacionárias. Os estados atômicos correspondentes são estados estacionários.
  4. O átomo pode passar de um estado estacionário para outro por emissão ou absorção de radiação eletromagnética com freqüência dada por:

              ν = |ΔE|/h

    em que |ΔE| é o módulo da diferença de energia entre os estados estacionários.

A primeira suposição não apresenta qualquer problema de aceitação e estipula, apesar das outras características estranhas do modelo, um comportamento newtoniano clássico usual para o elétron nas órbitas estacionárias. A segunda suposição não tem qualquer justificativa a não ser o sucesso do modelo. A terceira suposição aparece para evitar o dilema da emissão de radiação eletromagnética pelo elétron no seu movimento acelerado ao redor do núcleo, que levaria ao colapso do átomo. A quarta suposição é a mais estranha para a Física Clássica porque não especifica o mecanismo de passagem do elétron de uma órbita estacionária para outra.

Vamos discutir os raios das órbitas possíveis para o elétron e as correspondentes energias dos estados estacionários do átomo.

Consideremos um átomo com número atômico Z, formado por um núcleo com carga positiva Ze e um elétron com massa m e carga elétrica − e. Num referencial inercial fixo no núcleo, o elétron tem uma órbita circular. Igualando o módulo da força centrípeta ao módulo da força eletrostática que atua sobre o elétron, temos:

mv2/R = Ze2/4πε0R2

em que v representa o módulo da velocidade do elétron e R, o raio da sua órbita.

O módulo do momentum angular de um elétron de massa m, numa órbita circular de raio R ao redor do núcleo, é dado pela expressão: L = mvR. No modelo de Bohr, o módulo do momentum angular do elétron numa órbita estacionária deve ter valores múltiplos inteiros de h/2π. Portanto, podemos escrever, para a n-ésima órbita:

mvnRn = (h/2π)n          [n = 1, 2, 3, … ∞]

O número inteiro n, que especifica a órbita ou o estado estacionário do átomo, é chamado de número quântico.

Isolando v nesta expressão e substituindo na anterior, obtemos:

Rn = (εoh2/mπZe2) n2          [n = 1, 2, 3, … ∞]

Segundo o modelo de Bohr, as únicas órbitas possíveis para o elétron que gira ao redor do núcleo são aquelas com raios dados por essa expressão.

A figura (a) representa as primeiras órbitas com os raios em escala. A figura (b) ilustra os processos de emissão e absorção de radiação eletromagnética pelo átomo.

Por outro lado, como o referencial está fixo no núcleo atômico, ele tem velocidade nula. Desse modo, a energia cinética do átomo é a energia cinética do elétron. Se o elétron se move na n-ésima órbita:

Kn = ½mvn2 = Ze2/8πεoRn

Nesse contexto, é conveniente tomar a energia potencial atômica como sendo nula quando o elétron está a uma distância infinita do núcleo. Assim, a energia potencial do átomo, quando o elétron está na n-ésima órbita fica:

Un = − Ze2/4πεoRn

e levando em conta a expressão demonstrada acima para Rn, a energia total do átomo de um elétron, num referencial fixo no núcleo, quando o elétron está na n-ésima órbita, pode ser escrita:

En = − [mZ2e4/8εo2h2](1/n2) [n = 1, 2, 3, … ∞]

Segundo o modelo de Bohr, estas são as energias possíveis para o átomo, associadas às órbitas possíveis para o elétron que gira ao redor do núcleo.

O modelo atômico de Bohr é um modelo semi-clássico porque envolve tanto conceitos da Física Clássica quanto conceitos da Física Quântica. Num modelo puramente quântico, não podemos falar em uma energia bem definida para cada órbita e também não podemos falar em órbitas para os elétrons ao redor do núcleo atômico.

 


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