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Como isto se relaciona à segunda lei de Kepler?



O produto vetorial dos vetores A e B, representado pelo símbolo A × B, é definido de modo que o resultado seja o vetor C:

A × B = C

com módulo:

C = AB senθ

Pela figura podemos ver que d = A senθ. Desse modo, a área do paralelogramo formado pelos dois lados paralelos de comprimento A e pelos dois lados paralelos de comprimento B é dada pelo produto Bb ou AB senθ. Em outras palavras, o módulo do produto vetorial dos vetores A e B é igual à área do paralelogramo definido por esses mesmos vetores A e B.

segunda lei de Kepler, chamada lei das áreas, afirma que, num referencial fixo no Sol, a reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.

Na figura abaixo, que representa a órbita de um planeta ao redor do Sol, considerando o mesmo intervalo de tempo Δt, as áreas A1 e A2 são iguais.

Nesta figura, o tamanho do Sol está exagerado relativamente às dimensões da órbita e também a excentricidade da órbita está exagerada por questões didáticas.

A área A1 é igual a metade da área do paralelogramo definido pelos vetores r1 e d1. Pelo que estabelecemos acima sobre a relação entre a área de um paralelogramo e o produto vetorial dos dois vetores que o definem, podemos escrever:

A1 = ½ |r1 × d1|

em que as barras verticais indicam o módulo do vetor resultante. De modo análogo, temos:

A2 = ½ |r2 × d2|

Igualando as áreas e dividindo os dois lados da igualdade resultante por Δt, vem:

|r1 × ( d1/Δt )| = |r2 × ( d2/Δt )|

Agora, multiplicando os dois lados dessa igualdade por m, a massa do planeta, e reconhecendo que o cociente d1/Δt é igual a velocidade v1 do planeta no deslocamento d1 e que o cociente d2/Δt é igual a velocidade v2 do planeta no deslocamento d2, obtemos:

m|r1 × v1| = m|r2 × v2|

Para uma partícula de massa m e velocidade v, definimos o momentum angular 𝓁 em relação a um dado ponto O por:

𝓁 = m r × v

Desse modo, a expressão mais acima indica que os momenta angulares do planeta em relação a um ponto no centro do Sol, nos deslocamentos orbitais considerados, são iguais. E como esses deslocamentos são arbitrários, podemos concluir que o momentum angular do planeta é o mesmo em todos os pontos da sua órbita.

Portanto, a segunda lei de Kepler expressa o princípio de conservação do momentum angular no caso particular das órbitas planetárias.

Princípio de Conservação do Momentum Angular

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