O produto vetorial dos vetores A e B, representado pelo símbolo A × B, é definido de modo que o resultado seja o vetor C:
A × B = C
com módulo:
C = AB senθ
Pela figura podemos ver que d = A senθ. Desse modo, a área do paralelogramo formado pelos dois lados paralelos de comprimento A e pelos dois lados paralelos de comprimento B é dada pelo produto Bb ou AB senθ. Em outras palavras, o módulo do produto vetorial dos vetores A e B é igual à área do paralelogramo definido por esses mesmos vetores A e B.
A segunda lei de Kepler, chamada lei das áreas, afirma que, num referencial fixo no Sol, a reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.
Na figura abaixo, que representa a órbita de um planeta ao redor do Sol, considerando o mesmo intervalo de tempo Δt, as áreas A1 e A2 são iguais.
Nesta figura, o tamanho do Sol está exagerado relativamente às dimensões da órbita e também a excentricidade da órbita está exagerada por questões didáticas.
A área A1 é igual a metade da área do paralelogramo definido pelos vetores r1 e d1. Pelo que estabelecemos acima sobre a relação entre a área de um paralelogramo e o produto vetorial dos dois vetores que o definem, podemos escrever:
A1 = ½ |r1 × d1|
em que as barras verticais indicam o módulo do vetor resultante. De modo análogo, temos:
A2 = ½ |r2 × d2|
Igualando as áreas e dividindo os dois lados da igualdade resultante por Δt, vem:
|r1 × ( d1/Δt )| = |r2 × ( d2/Δt )|
Agora, multiplicando os dois lados dessa igualdade por m, a massa do planeta, e reconhecendo que o cociente d1/Δt é igual a velocidade v1 do planeta no deslocamento d1 e que o cociente d2/Δt é igual a velocidade v2 do planeta no deslocamento d2, obtemos:
m|r1 × v1| = m|r2 × v2|
Para uma partícula de massa m e velocidade v, definimos o momentum angular 𝓁 em relação a um dado ponto O por:
𝓁 = m r × v
Desse modo, a expressão mais acima indica que os momenta angulares do planeta em relação a um ponto no centro do Sol, nos deslocamentos orbitais considerados, são iguais. E como esses deslocamentos são arbitrários, podemos concluir que o momentum angular do planeta é o mesmo em todos os pontos da sua órbita.
Portanto, a segunda lei de Kepler expressa o princípio de conservação do momentum angular no caso particular das órbitas planetárias.