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Princípio de Incerteza de Heisenberg



Na Física Clássica, está implícita a idéia de que qualquer grandeza de movimento de uma partícula pode ser medida e descrita de modo exato. Por exemplo, podemos medir simultaneamente a posição e a velocidade de uma partícula sem perturbar o seu movimento. De acordo com a Física Quântica, o ato de medir perturba a partícula e modifica o seu movimento.

Para discutir esta última afirmação, vamos considerar a tarefa de determinar a coordenada x da posição de um elétron que se move ao longo do eixo Y. Para conseguir fazer isso, podemos observar se esse elétron passa ou não através de uma fenda de largura b.

Existe uma indeterminação Δx na medida da coordenada x da posição do elétron, que deve ser da ordem da largura da fenda:

Δx ≈ b

O elétron, ao passar pela fenda, apresenta comportamento ondulatório e produz um padrão de máximos e mínimos associado à difração. Assim, o movimento do elétron é perturbado ao passar pela fenda, de modo que esta introduz uma indeterminação Δpx na componente do momentum do elétron ao longo do eixo X.

Esta indeterminação Δpx está relacionada ao ângulo θ, correspondente ao máximo central do padrão de difração, já que é mais provável que a trajetória do elétron esteja contida dentro do ângulo 2θ.

Se λ é o comprimento de onda e h, a constante de Planck, da Teoria Eletromagnética Clássica temos:

senθ = λ/b

e da relação de de Broglie:

p = h/λ

de modo que:

Δpx ≈ px = p senθ = (h/λ)(λ/b) = h/Δx

ou:

Δx Δpx ≈ h

Esta expressão mostra que o produto das incertezas Δx e Δpx é da ordem de grandeza da constante de Planck. De qualquer modo, embora o valor da constante de Planck seja muito pequeno, ele não é zero. Além disso, a expressão acima mostra que, diminuindo uma das incertezas, a outra cresce na mesma proporção.

Assim, quando promovemos um estreitamento da fenda (diminuição de b) para diminuir a incerteza na medida da coordenada x da posição do elétron, ocorre um alargamento do máximo central do padrão de difração e, conseqüentemente, um aumento na incerteza da componente x do momentum desse elétron.

Por outro lado, para diminuir a incerteza da componente x do momentum do elétron, devemos diminuir a largura do máximo central do padrão de difração e isso se consegue aumentando a largura da fenda, o que leva ao aumento da incerteza na medida da coordenada x da posição do elétron.

Este fato constitui um exemplo particular de aplicação do princípio de incerteza de Heisenberg, cujo enunciado pode ser o seguinte: não podemos determinar simultaneamente, com precisão arbitrária, a posição e o momentum de uma partícula. Matematicamente:

Δx Δpx ≥ ħ/2

Nesta relação, ħ é a constante de Planck dividida por 2π

De acordo com a Mecânica Clássica, a perturbação introduzida num sistema qualquer, para medir a posição e o momentum de cada partícula que o constitui, pode ser tão pequena quanto quisermos e, a partir daí, podemos determinar exatamente o movimento subseqüente das partículas.

Segundo a Mecânica Quântica, é impossível tal descrição exata no caso de sistemas microscópicos, que envolvem pequenas distâncias e pequenos momenta, já que, pelo princípio de incerteza, não podemos determinar simultaneamente, e com precisão arbitrária, a posição e o momentum de cada partícula que constitui tais sistemas.

De modo análogo, se queremos medir a energia de uma partícula e determinar o instante em que ela tem essa energia, as respectivas indeterminações ΔE e Δt estão relacionadas pela expressão:

ΔE Δt ≥ ħ/2

Nesse caso, o princípio de incerteza de Heisenberg pode ser enunciado como segue: não podemos determinar simultaneamente, com precisão arbitrária, a energia de uma partícula e o instante de tempo no qual ela tem essa energia.

 


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